Einhängung

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Einhängung eines Kreises. Der Original-Raum ist blau, die kollabierten Endpunkte sind grün.

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Einhängung[1] oder Suspension eine Methode um aus einem topologischen Raum einen neuen Raum zu konstruieren. Dabei wird der Ausgangsraum mit zwei Kegeln verklebt. Es gibt eine Variante der Einhängung für punktierte Räume, die als reduzierte Einhängung bezeichnet wird.

Die Einhängung eines topologischen Raums ist definiert als der Quotientenraum

des Produkts von mit dem Einheitsintervall .[2]

Anschaulich wird X erst zu einem »Zylinder«  ausgedehnt, dessen Enden dann zu Punkten zusammengefasst werden, und man betrachtet X als zwischen diesen Endpunkten »eingehängt«. Man kann die Einhängung auch als zwei geometrische Kegel über X, die auf ihrer Grundseite miteinander verklebt sind, betrachten. Eine dritte Möglichkeit ist ihre Betrachtung als Quotient des topologischen Kegels über X, bei dem die Punkte der Grundseite als äquivalent zusammengefasst werden.

Reduzierte Einhängung

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Sei ein punktierter Raum (mit Basispunkt ), so gibt es eine abgewandelte Einhängung von , die wieder punktiert ist: Die reduzierte Einhängung von ist der Quotientenraum:[2]

.

Die Konstruktion kollabiert die Gerade (x0 × I) in SX, wobei die Enden zu einem Punkt zusammengefasst werden. Der Basispunkt von ΣX ist die Äquivalenzklasse von (x0, 0). Σ ist Endofunktor in der Kategorie punktierter Räume.[2]

Man kann zeigen, dass die reduzierte Einhängung von X homöomorph zum Smash-Produkt von X mit dem Einheitskreis S1 ist:[3]

,

allgemeiner ist die -fach iterierte reduzierte Einhängung im Wesentlichen das Smash-Produkt mit der -Sphäre:

.

Für CW-Komplexe ist die reduzierte Einhängung homotopieäquivalent zur gewöhnlichen.

Insbesondere gilt
  • Die Funktorialität der Einhängung induziert Abbildungen
zwischen Homotopiegruppen. Der Freudenthalsche Einhängungssatz besagt, dass diese Abbildungen für -zusammenhängende Räume im Bereich Isomorphismen und für Epimorphismen sind. Der direkte Limes
über diese Abbildungen ist die -te stabile Homotopiegruppe von . Ist insbesondere , so ist das induktive System für im Wesentlichen konstant, d. h.
wegen nennt man die Gruppen auch einfach stabile Homotopiegruppen der Sphären.
  • Für alle gilt
beziehungsweise
.
Wenn man reduzierte Homologie bzw. reduzierte Kohomologie verwendet, gilt sogar für alle [5]
beziehungsweise
Dieser Einhängungsisomorphismus (oder Suspensions-Isomorphismus) gilt auch für alle verallgemeinerten Kohomologietheorien.

Einzelnachweise

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  1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-54964-3, S. 41 (google.com [abgerufen am 24. September 2022]).
  2. a b c Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer New York, New York, NY 1981, ISBN 978-1-4684-9322-1, S. 41.
  3. Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X, S. 12.
  4. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer New York, New York, NY 1981, ISBN 978-1-4684-9322-1, S. 42.
  5. Wolfgang Lück: Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-322-80241-5, S. 9 (google.com [abgerufen am 24. September 2022]).